Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，底面.

（1）求證：平面；

（2）若，直線與平面所成的角為，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）通過AC⊥BD與PD⊥AC可得平面；

（2）由題先得出∠PBD是直線PB與平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，則可先求出菱形ABCD的面積，進而可得四棱錐P- ABCD的體積.

解：（1）因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又因為PD⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以PD⊥AC，又，

故AC⊥平面PBD；

（2）因為PD⊥平面ABCD，

所以∠PBD是直線PB與平面ABCD所成的角，

于是∠PBD=45°，

因此BD=PD=2.又AB= AD=2，

所以菱形ABCD的面積為，

故四棱錐P- ABCD的體積.