Question

設函數f(x)＝ax－(1＋a²)x²，其中a>0，區間I＝{x|f(x)>0}．
(1)求I的長度(注：區間(α，β)的長度定義為β－α)；
(2)給定常數k∈(0，1)，當1－k≤a≤1＋k時，求I的長度的最小值．

Answer 1

（1）（2）

(1)令f(x)＝x[a－(1＋a²)x]＝0，
解得x₁＝0，x₂＝，∴I＝，∴I的長度為x₂－x₁＝.
(2)k∈(0，1)，則0<1－k≤a≤1＋k<2.
由(1)知I的長度為，設g(a)＝，令g′(a)＝>0，則0<a<1.
故g(a)關于a在[1－k，1)上單調遞增，在(1，1＋k]上單調遞減．
g(1－k)＝＝，g(1＋k)＝，
故g(a)_min＝，即I的長度的最小值為