Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C． （Ⅰ）證明：AC=AB1；
（Ⅱ）若AC⊥AB1 ， ∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連結(jié)BC1 ， 交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)AO， ∵側(cè)面BB1C1C為菱形，
∴BC1⊥B1C，且O為BC1和B1C的中點(diǎn)，
又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，
∵AO平面ABO，∴B1C⊥AO，
又B10=CO，∴AC=AB1 ，
（Ⅱ）∵AC⊥AB1 ， 且O為B1C的中點(diǎn)，∴AO=CO，
又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，
∴OA，OB，OB1兩兩垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸的正方向，| |為單位長度，
的方向?yàn)閥軸的正方向， 的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
∵∠CBB1=60°，∴△CBB1為正三角形，又AB=BC，
∴A（0，0， ），B（1，0，0，），B1（0， ，0），C（0， ，0）
∴ =（0， ， ）， = =（1，0， ）， = =（﹣1， ，0），
設(shè)向量 =（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，
則 ，可取 =（1， ， ），
同理可得平面A1B1C1的一個(gè)法向量 =（1，﹣ ， ），
∴cos＜ ， ＞= = ，
∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值為
【解析】（1）連結(jié)BC1 ， 交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)AO，可證B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，進(jìn)而可得AC=AB1；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸的正方向， 為單位長度， 的方向?yàn)閥軸的正方向， 的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別可得兩平面的法向量，可得所求余弦值．