Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P到兩點(0,-)，(0,)的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C．
（1）寫出C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+1與C交于A、B兩點，k為何值時？

Answer 1

【答案】解：（1）由條件知：P點的軌跡為焦點在y軸上的橢圓，
其中c=,a=2，所以b2=a2﹣c2=4-()2=1．
故軌跡C的方程為：；
（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
由（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0
由△=16k2+48＞0，可得：，
再由=0x1x2+y1y2=0
即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
所以，．
【解析】（1）由題意可知P點的軌跡為橢圓，并且得到c=,a=2，求出b后可得橢圓的標準方程；
（2）把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后得到判別式大于0，然后利用根與系數(shù)關(guān)系得到直線和橢圓兩個交點的橫坐標的和與積，寫出兩個向量垂直的坐標表示，最后代入根與系數(shù)的關(guān)系后可求得k的值．