Question

已知定點和直線，過點且與直線相切的動圓圓心為點，記點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）若點的坐標為，直線（，且）與拋物線，相交于、兩點，直線、分別交直線于點、試判斷以線段為直徑的圓是否恒過兩個定點？若是，求這兩個定點的坐標；若不是，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，且兩個定點坐標為和.

解析試題分析：（1）解法1是根據題干條件確定曲線是以點為焦點、以直線為準線的拋物線，從而寫出拋物線的方程；解法2是利用直接法求動點的軌跡方程，即設點的坐標為，將條件轉化為點到點的距離等于點到直線的距離相等列等式，化簡后即得到曲線的方程；（2）解法1是先設點、的坐標分別為、，將直線的方程與拋物線的方程聯立求出、的坐標，并求出、的直線方程，與直線的方程聯立求出、的坐標，利用兩點間的距離公式求出，然后求出線段的中點的坐標，然后寫出以為直徑的圓的方程，結合韋達定理進行化簡，根據方程的結構特點求出定點的坐標；解法2是設直線的方程為，點的坐標為，分別將直線的方程與拋物線和直線的方程求出點、的坐標，然后設直線的方程為，利用同樣的方法求出點、的坐標，利用點、都在直線上，結合兩點連線的斜率等于值以及點在直線得到、與之間的等量關系（韋達定理），然后設為以為直徑的圓上的一點，由得到以為直徑的圓的方程，然后圓的方程的結構特點求出定點的坐標.
試題解析：（1）解法1：由題意，點到點的距離等于它到直線的距離，
故點的軌跡是以點為焦點，為準線的拋物線.
曲線的方程為；
解法2：設點<