Question

【題目】關于x方程 ﹣x=lnx有唯一的解，則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】{a|a＜0或a=1}
【解析】解：要使方程有意義，則x＞0，
設f（x）= ﹣x，g（x）=lnx，
若a＜0，此時函數f（x）在x＞0時，單調遞減，g（x）=lnx單調遞增，
此時兩個函數只有一個交點，滿足方程有唯一解；
若a＞0，要使方程 ﹣x=lnx有唯一的解，
則函數f（x）與g（x）有相同的切線，
設切點為（m，n），
則f′（x）= ，g′（x）= ，
則滿足 ﹣1= ，
即 ﹣m=1①，
同時 ﹣m=lnm，②
①﹣2×②得m=1﹣2lnm，
即m﹣1=﹣2lnm，
∵y=m﹣1與y=﹣2lnm只有一個根，
∴解得m=1，
當m=1時，n=ln1=0，
即切點為（1，0），
則f（x）與g（x）在（1，0）處相切，
即此時f（1）=0，即a=1，滿足條件．
所以答案是：{a|a＜0或a=1}