Question

【題目】已知 分別是橢圓 的左、右焦點，離心率為 ， ， 分別是橢圓的上、下頂點， ．
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）過 （0,2）作直線 與 交于 兩點，求三角形 面積的最大值（ 是坐標原點）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）由題知 ，
∴ ，
∴ ∴ ，①
∵ ，∴ ，∴ ，②
①②聯立解得 ，
∴橢圓E的方程為 .
（Ⅱ）設 ，顯然直線AB斜率存在，設其方程為 ，代入 整理得 ，
則 ，即 ，
，



= .
∴O到L的距離 ，
所以三角形AOB面積 =
設 ，
所以 ，
當且僅當 ，即t=4，即 ，即 時取等號，
所以△AOB面積的最大值為 .
【解析】（Ⅰ）根據 ，結合a,b,c的關系即可求出橢圓的方程。
（Ⅱ）設出直線方程，聯立直線，橢圓方程，得到交點坐標，在由點到直線的距離公式求出三角形的高，即可算出三角形面積。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．