Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為邊長為的正方形， ， 分別為， 的中點.

（1）求證： 平面；

（2）若， 平面，求直線與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）設的中點為，連接， ，根據三角形中位線定理可得，進而得四邊形為平行四邊形，從而，由線面平行的判定定理可得 平面；（2）由（1）知， ，因為平面，可得平面， ，可證明平面， ， ， 兩兩垂直，以為坐標原點，向量， ， 的方向為軸， 軸， 軸的正方形建立如圖所示的空間直角坐標系，求出直線的方向向量與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得直線與平面所成角的正弦值，從而可得結果.

試題解析：（1）設的中點為，連接， ，

則，而

∴∴四邊形為平行四邊形.

∴，而平面， 平面

∴平面；

（2）由（1）知， ，因為平面

所以平面，而， 平面

∴

∵， ，

∴平面， 平面

∴，而， ，所以平面

（注意：沒有證明出平面，直接運用這一結論的，后續過程不給分）

由題意， ， ， 兩兩垂直，以為坐標原點，向量， ， 的方向為軸， 軸， 軸的正方形建立如圖所示的空間直角坐標系

在三角形中平面，而平面，知，而的中點為知，則， ， ， ，

， ， 為平面的一個法向量.

設直線與平面所成角為，

所以直線與平面所成角為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.