Question

【題目】【2018衡水金卷（二）】如圖，矩形中， 且， 交于點．

（I）若點的軌跡是曲線的一部分，曲線關于軸、軸、原點都對稱，求曲線的軌跡方程；

（II）過點作曲線的兩條互相垂直的弦，四邊形的面積為，探究是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）曲線的軌跡方程為；（II）為定值．

【解析】試題分析：（1）可得M（﹣2，2λ），N（﹣2+4λ，2），，設Q（x，y），整理得： ，即可得曲線P的軌跡方程為；

（2）設直線的斜率為，把代入橢圓方程，化簡整理得.利用韋達定理易得四邊形GFHE的面積為， ，所以，

試題解析：

(1)設，

由,

求得,

∵,

∴,

∴，

整理得.

可知點的軌跡為第二象限的橢圓，由對稱性可知曲線的軌跡方程為.

（2）設，當直線斜率存在且不為零時，設直線的斜率為，把代入橢圓方程，化簡整理得.

，

.

∴

.

∵,

∴把換成，即得.

∴

，

，

，

∴.

當直線斜率不存在或為零時，

.

∴為定值.