Question

經過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為.點在軌跡上，且關于軸對稱，過線段（兩端點除外）上的任意一點作直線，使直線與軌跡在點處的切線平行，設直線與軌跡交于點.
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：；
（3）若點到直線的距離等于，且的面積為20，求直線的方程.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）.

試題分析：本題主要考查拋物線、圓、直線的標準方程和幾何性質，考查用代數法研究圓錐曲線的性質以及數形結合思想、分類討論思想.第一問，根據圓與直線相切列出表達式；第二問，把證明角相等轉化為證明兩個斜率之間的關系；第三問，找直線上的點的坐標和直線的斜率，本問應用了數形結合思想.
試題解析：（1）設動圓圓心為，依題意得.
整理，得，所以軌跡的方程為.(2分)
（2）由（1）得，即，則.
設點，由導數的幾何意義知，直線的斜率為，
由題意知點，設點，
則，
即.
因為，，
由于，即，
所以.(6分)
（3）由點到的距離等于，可知，

不妨設點在上方（如圖），即，直線的方程為：.
由，解得點的坐標為，
所以，
由（2）知，同理可得，
所以的面積，解得.
當時，點的坐標為，，
直線的方程為，即.
當時，點的坐標為，，
直線的方程為，即. (12分)