Question

如圖，平面αIβ=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別是B、D，如果增加一個條件，就能推出BD⊥EF，現有下面4個條件：
①AC⊥β；
②AC與α，β所成的角相等；
③平面ABC⊥β；
④AC與BD在β內的射影在同一條直線上．
其中能成為增加條件的是

①③④

．（把你認為正確的條件的序號都填上）

Answer 1

分析：要增加一個條件，推出BD⊥EF，由AB⊥α，CD⊥α，則平面ABDC與EF垂直，需要加一個條件能夠使得線與面垂直，把幾個選項逐個分析，得到結論．

解答：解：要增加一個條件，推出BD⊥EF，
∵AB⊥α，CD⊥α，∴平面ABDC與EF垂直，
∴需要加一個條件能夠使得線與面垂直，
①通過線面垂直得到線線垂直，使得EF垂直于平面ABDC，所以①可以成為增加的條件；
②AC與α，β所成的角相等，AC與EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF與平面ACDB不垂直，所以就推不出EF與BD垂直，所以②不可以成為增加的條件；
③因為平面ABC⊥β，平面ABDC⊥α，α∩β=EF，所以EFEF⊥平面ACBD，所以③可以成為增加的條件；
④因為CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD，所以EF與CD在β內的射影垂直，
因為AC與CD在β內的射影在同一條直線上，所以EF⊥AC
因為AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，所以④可以成為增加的條件．
故答案為：①③④

點評：本題是個開放性的命題，解決此類問題關鍵是熟記相關的平行與垂直的定理，準確把握定理中的條件．