Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E、F、O分別為PA，PB，AC的中點，AC=16，PA=PC=10．
（I）設G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE；
（II）證明：在△ABO內存在一點M，使FM⊥平面BOE．

Answer 1

分析：（I）連接OP，以O為坐標原點，分別以OB、OC、OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，分別求了各點對應的坐標，求出直線FG的方向向量和平面BOE的法向量，判斷兩個向量的關系，即可得到FG∥平面BOE；
（II）設點M的坐標為（x₀，y₀，0），則我們易求出直線FM的方向向量，由FM⊥平面BOE求出滿足條件的M點的坐標，并與△ABO內部表示的平面區域對應的約束條件進行比照，即可得到答案．

解答：證明：（I）連接OP，以O為坐標原點，分別以OB、OC、OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，
則O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3），…（2分）
由題意得，G（0，4，0）因

OB

=(8，0，0)，

OE

=(0，-4，3)，
因此平面BOE的法向量為

n

=(0，3，4)，…（4分）

FG

=(-4，4，-3)得

n

•

FG

=0，
又直線FG不在平面BOE內，因此有FG∥平面BOE …（6分）
（II）設點M的坐標為（x₀，y₀，0），則

FM

=(x0-4，y0，-3)，…（8分）
因為FM⊥平面BOE，所以有

FM

∥

n

，因此有x₀=4，y0=-

9

4

，
即點M的坐標為 (4，-

9

4

，0)，…（11分）
在平面直角坐標系xoy中，
△AOB的內部區域滿足不等式組

x＞0 y＜0 x-y＜8

，
經檢驗，點M的坐標滿足上述不等式組，所以在△AOB內存在一點M，使FM⊥平面BOE．…（13分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中建立適當的坐標系，將線面平行及線面垂直問題，轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．本題綜合較強，難度較大．