Question

（12分）正方形ABCD邊長為4，點E是邊CD上的一點，

將AED沿AE折起到的位置時，有平面 平面ABCE，

并且（如圖）

   （I）判斷并證明E點的具體位置；（II）求點D^/到平面ABCE的距離．

Answer 1

（I）略    （II）

解析:

（I）連結AC、BD交于點O，再連DD，由BDAC，且平面ACD平面ABCE于AC，∴BD平面ACD，故CDBD，又CDBD，∴CD平面BDD，[來源:學即得CDDD，在Rt△CDD中，由于ED=ED，∴∠EDD=∠EDD，

則∠ECD=90⁰EDD=90⁰EDD=∠EDC，∴EC=ED=ED，

即E點為邊CD的中點． …………………6分

   （II）方法一：如圖取OC的中點M，連結DM、EM，

則EM//BD，得EM平面ACD，

即∠EMD=90⁰，又因為DE=2，EM=，

則DM=，又ADEM，∵ADDE，

∴ ADDE，∴AD平面EMD，

則ADDM，在Rt△AMD中，AD=4，AM=，DM=，

過D作DHAM于H點，則DH平面ABCE，

由于DH=，此即得點D到平面ABCE的距離．

方法二：如圖, 連結OD，∵CD平面BDD， 

∴CDOD，

在△ADC中，設OD，

則∵OC，∴CD=，

∵∠AOD與∠DOC互補，

由余弦定理得，

解得，在直角三角形ODC中，  

由面積公式得所求距離為．

方法三：能用最小角定理幫助解△ADC，

即，其中

可求．

另解： 建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），

A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），

設E（0，，0），D（），

設DH平面ABCE于H點，則H在AC上，

∴H的坐標為（，0），依題意有：

，，，，[來源:Zxxk.Com]

∵，

∴，，

∴，[來源:學科網]

，∴，

，∴

由與兩式相減，

將代入得，從而有，

即E為CD中點，點D到平面ABCE的距離是． …………………12分