Question

設雙曲線的兩個焦點分別為、，離心率為2．
（1）求雙曲線的漸近線方程；
（2）過點能否作出直線，使與雙曲線交于、兩點，且，若存在，求出直線方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵      ∴    ∴ 雙曲線漸近線方程為
（2）解：假設過點能作出直線，使與雙曲線交于、兩點，
且         若過點的直線斜率不存在，則不適合題意，舍去．
設直線方程為        

①代入②得：

∵ ∴        ∴   
∴ ∴    不合題意.       ∴ 不存在這樣的直線.

(1)根據離心率先求出a²的值，然后令雙曲線等于右側的1為0，解此方程可得雙曲線的漸近線方程.
（2）設直線l的方程為,然后直線方程與雙曲線方程聯立，消去y，得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理表示此條件，得到關于k的方程，解出k的值，然后驗證判別式是否大于零即可.