Question

【題目】已知橢圓：過點(diǎn)，且它的焦距是短軸長(zhǎng)的倍.

（1）求橢圓的方程.

（2）若，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（，兩點(diǎn)不關(guān)于軸對(duì)稱），為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的斜率分別為，，問是否存在非零常數(shù)，使當(dāng)時(shí)，的面積為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在這樣的常數(shù)，此時(shí).

【解析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合和列方程組，解方程組求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線的方程為和兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將兩點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得到①.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用點(diǎn)到直線距離公式和弦長(zhǎng)公式求得三角形的面積的表達(dá)式，結(jié)合①解得和的值.

解：（1）因?yàn)闄E圓：過點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)樵摍E圓的焦距是短軸長(zhǎng)的倍，所以，從而.

聯(lián)立方程組，解得，所以.

（2）設(shè)存在這樣的常數(shù)，使，的面積為定值.設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)，則由知，，所以.①

聯(lián)立方程組，消去得.

所以，

點(diǎn)到直線的距離，

的面積.④

將②③代入①得，

化簡(jiǎn)得，⑤

將⑤代入④得

，

要使上式為定值，只需，

即需，從而，此時(shí)，，

所以存在這樣的常數(shù)，此時(shí).