Question

【題目】已知函數，.

（1）求使方程存在兩個實數解時，的取值范圍；

（2）設，函數，.若對任意，總存在，使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出導函數，可得函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，求得，，，利用可得結果；（2）由（1）知，設的值域為，因為對任意，總存在，使得，等價于.利用導數研究函數的單調性，求出的值域，根據包含關系列不等式求解即可,

（1）.

令，得；令，得，

所以函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，

所以，又，，

要使方程存在兩個實數解，則，

解得.

（2）由（1）知，設的值域為，因為對任意，總存在，使得，所以.

因為，所以，

當時，在上恒成立，所以在上單調遞減，

又，不可能滿足.

當時，由于，

若，即，在上單調遞減，在上單調遞增，

，又，，要使，則必須有，化簡得，解得，又，所以.

若，即，在上單調遞減，不可能滿足.

綜上，實數的取值范圍為.