Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的右焦點，且，設短軸的一個端點為，原點到直線的距離為，過原點和軸不重合的直線與橢圓相交于兩點，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，且使得成立？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請說明理由

Answer 1

（1） ；（2）存在滿足條件的直線，且其方程為.

試題分析：（1）由橢圓的對稱性知，又原點到直線的距離為，得.又，，
故橢圓的方程為： 
（2）顯然當與軸垂直時不可能滿足條件，
故設，代入橢圓方程得：
.
與橢圓于交于同的兩點，設，
.
，，
，即，
，
解得.
為不同的點，，故.
存在滿足條件的直線，且其方程為.
點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓、標準方程時，主要運用了橢圓的幾何性質。（II）小題中，運用平面向量的數量積，“化證為算”，達到證明目的。