Question

【題目】已知：在函數的圖象上，以為切點的切線的傾斜角為．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）是否存在最小的正整數，使得不等式對于恒成立？如果存在，請求出最小的正整數；如果不存在，請說明理由；

（Ⅲ）求證：（，）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）存在最小的正整數，使得不等式對于恒成立.

（Ⅲ）（， ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ） ，依題意，得，即，.

2分

∵ ， ∴ . 3分

（Ⅱ）令，得. 4分

當時，；

當時，；

當時，.

又，，，.

因此，當時，. 7分

要使得不等式對于恒成立，則.

所以，存在最小的正整數，使得不等式對于

恒成立. 9分

（Ⅲ）方法一：

. 11分

又∵ ，∴ ，.

∴

. 13分

綜上可得，（，/span>）. 14分

方法二：由（Ⅱ）知，函數在 [-1，]上是增函數；在[,]上是減函數；在[，1]上是增函數.

又，，，.

所以，當x∈[-1，1]時，，即.

∵ ，∈[-1，1]，∴ ，.

∴ . 11分

又∵，∴ ，且函數在上是增函數.

∴ . 13分

綜上可得，（， ）. 14分