Question

【題目】如果存在常數a，使得數列{an}滿足：若x是數列{an}中的一項，則a-x也是數列{an}中的一項，稱數列{an}為“兌換數列”，常數a是它的“兌換系數”．

（1）若數列：2，3，6，m（m＞6）是“兌換系數”為a的“兌換數列”，求m和a的值；

（2）已知有窮等差數列{bn}的項數是n0（n0≥3），所有項之和是B，求證：數列{bn}是“兌換數列”，并用n0和B表示它的“兌換系數”；

（3）對于一個不少于3項，且各項皆為正整數的遞增數列{cn}，是否有可能它既是等比數列，又是“兌換數列”？給出你的結論，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=9，m=7；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）利用“兌換數列”的定義得到a-m=2，a-6=3，即a=9，m=7．（2）利用“兌換數列”的定義可證明數列{bn}是“兌換數列”， 又因為數列{bn}所有項之和是B，所以B==，即a=；（3）假設存在這樣的等比數列{cn}，設它的公比為q（q＞1），通過推理得到q=1，與q＞1矛盾，故不存在滿足條件的數列{cn}．

（1）解：因為2，3，6，m（m＞6）是“兌換系數”為a的“兌換數列”

所以a-m，a-6，a-3，a-2也是該數列的項，且a-m＜a-6＜a-3＜a-2，

故a-m=2，a-6=3，即a=9，m=7．

（2）證明：設數列{bn}的公差為d，

因為數列{bn}是項數為n0項的有窮等差數列

若b1≤b2≤b3≤…≤，則a-b1≥a-b2≥a-b3≥…≥a-，

即對數列{bn}中的任意一項bi（1≤i≤n0），a-bi=b1+（n0-i）d=+1-i∈{bn}

同理可得：b1≥b2≥b3≥…≥，a-bi=b1+（n0-i）d=+1-i∈{bn}也成立，

由“兌換數列”的定義可知，數列{bn}是“兌換數列”；

又因為數列{bn}所有項之和是B，所以B==，即a=；

（3）解：假設存在這樣的等比數列{cn}，設它的公比為q（q＞1），

因為數列{cn}為遞增數列，所以c1＜c2＜c3＜…＜cn，則a-c1＞a-c2＞a-c3＞…＞a-cn，

又因為數列{cn}為“兌換數列”，則a-ci∈{cn}，所以a-ci是正整數

故數列{cn}必為有窮數列，不妨設項數為n項，則ci+cn+1-i=a（1≤i≤n）

①若n=3，則有c1+c3=a，c2=，又c22=c1c3，由此得q=1，與q＞1矛盾

②若n≥4，由c1+cn=c2+cn-1，得c1-c1q+c1qn-1-c1qn-2=0

即（q-1）（1-qn-2）=0，故q=1，與q＞1矛盾；

綜合①②得，不存在滿足條件的數列{cn}．