【題目】
統計學中將
個數
的和記作
（1）設
，求
；
（2）是否存在互不相等的非負整數
，
,使得
成立，若存在，請寫出推理的過程；若不存在請證明；
（3）設
是不同的正實數，
，對任意的
，都有
，判斷是否為一個等比數列，請說明理由.
【答案】（1）79；（2）不存在，證明詳見解析；（3）是等比數列，理由詳見解析.
【解析】
（1）代值計算結果．（2）距離2019最近的2的冪次為
，而2019小于2048，所以
，但是2048和2019的差不大，所以可以研究他們的差如何表示．（3）利用數學歸納法證明.
（1）因為
，所以
所以
（2）因為
，
又
，所以
中最大可能是10，
因為
，
所以
又
，
所以必有
·
又因為
，所以
所以必然存在某幾項
，其中
，
只有
，
所以存在這樣互不相等的非負整數
，
，
使得
成立。
（3）數學歸納法證明：
當
，代入
，
化簡得
所以
成等比數列
假設當
時
成等比數列，
是不同的正實數
記
，設
化簡整理得：
去分母同乘以
得
整理
因為
得
，從而
，
所以
時
是等比數列
核心素養學練評系列答案
單元期中期末卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發展理念和提高生態環境的保護意識，高二年級準備成立一個環境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環境保護興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學校的環保知識競賽.
（1）設事件
為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須文、理科生都有”，求事件發生的概率；
（2）用
表示抽取的4人中文科女生的人數，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如果存在常數a，使得數列{an}滿足：若x是數列{an}中的一項，則a-x也是數列{an}中的一項，稱數列{an}為“兌換數列”，常數a是它的“兌換系數”．
（1）若數列：2，3，6，m（m＞6）是“兌換系數”為a的“兌換數列”，求m和a的值；
（2）已知有窮等差數列{bn}的項數是n0（n0≥3），所有項之和是B，求證：數列{bn}是“兌換數列”，并用n0和B表示它的“兌換系數”；
（3）對于一個不少于3項，且各項皆為正整數的遞增數列{cn}，是否有可能它既是等比數列，又是“兌換數列”？給出你的結論，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業參加
項目生產的工人為
人，平均每人每年創造利潤
萬元.根據現實的需要，從項目中調出
人參與
項目的售后服務工作，每人每年可以創造利潤
萬元（
），項目余下的工人每人每年創造利圖需要提高
（1）若要保證項目余下的工人創造的年總利潤不低于原來名工人創造的年總利潤，則最多調出多少人參加項目從事售后服務工作？
（2）在（1）的條件下，當從項目調出的人數不能超過總人數的
時，才能使得項目中留崗工人創造的年總利潤始終不低于調出的工人所創造的年總利潤，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB．
（1）求證：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某旅游勝地欲開發一座景觀山，從山的側面進行勘測，迎面山坡線
由同一平面的兩段拋物線組成，其中
所在的拋物線以
為頂點、開口向下，
所在的拋物線以
為頂點、開口向上，以過山腳（點）的水平線為
軸，過山頂（點）的鉛垂線為
軸建立平面直角坐標系如圖（單位：百米）．已知所在拋物線的解析式
，所在拋物線的解析式為
（1）求
值，并寫出山坡線的函數解析式；
（2）在山坡上的700米高度（點
）處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站，索道的起點選擇在山腳水平線上的點
處，
（米），假設索道
可近似地看成一段以為頂點、開口向上的拋物線
當索道在上方時，索道的懸空高度有最大值，試求索道的最大懸空高度；
（3）為了便于旅游觀景，擬從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設觀景臺階，臺階每級的高度為20厘米，長度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每級臺階的兩端點在坡面上（見圖）．試求出前三級臺階的長度（精確到厘米），并判斷這種臺階能否一直鋪到山腳，簡述理由？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】圖1是某斜拉式大橋圖片，為了了解橋的一些結構情況，學校數學興趣小組將大橋的結構進行了簡化，取其部分可抽象成圖2所示的模型，其中橋塔
、
與橋面
垂直，通過測量得知
，
，當
為中點時，
.
（1）求的長；
（2）試問在線段的何處時，
達到最大.
圖1 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：若函數
對任意的
，都有
成立，則稱為
上的“淡泊”函數.
（1）判斷
是否為
上的“淡泊”函數，說明理由；
（2）是否存在實數
，使
為
上的“淡泊”函數，若存在，求出的取值范圍；不存在，說明理由；
（3）設是
上的“淡泊”函數（其中不是常值函數），且
，若對任意的
，都有
成立，求
的最小值.
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