Question

【題目】如圖，已知橢圓：，左頂點為，經過點，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為的中點，，證明：對于任意的都有恒成立；

（3）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據待定系數法求得橢圓的方程；

（2）利用點差法求出直線的斜率，再利用直線的斜率相乘為，證得兩直線垂直；

（3）將式子表示成關于的表達式，再利用基本不等式求得最小值.

（1）由題意得：，所以橢圓，

因為點在橢圓上，所以，

所以橢圓的方程為.

（2）設，

所以，

所以，

因為直線的斜率為，所以，

設直線的方程為，

當時，，故，

所以，所以，

所以對于任意的都有恒成立.

（3）因為，所以設的方程為，代入得：，

所以，.

由，得，

所以弦長，

所以，

所以，

等號成立當且僅當.

所以的最小值為.