Question

【題目】設(shè)，曲線在點處的切線與直線垂直．

（1）求的值；

（2）若對于任意的， 恒成立，求的取值范圍；

（3）求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）詳見解析

【解析】試題分析:（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程，解方程可得的值；（Ⅱ）不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，本題去分母轉(zhuǎn)化為差函數(shù)： ，因為，所以最大值不小于，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號可得才滿足條件.（Ⅲ）不等式證明中涉及求和問題，一般方法為適當(dāng)放縮，再利用裂項相消法給予證明.本題由（Ⅱ）知，當(dāng)時, 時, 成立，所以放縮這一難點已暗示，下面只需令得，即，最后疊加可得證.

試題解析：（Ⅰ）

由題設(shè)，∴ .

（Ⅱ）,， ，即

設(shè)，即.

①若， ，這與題設(shè)矛盾

②若當(dāng), 單調(diào)遞增， ，與題設(shè)矛盾.

③若當(dāng)， 單調(diào)遞減， ，即不等式成立

綜上所述， .

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時, 時, 成立.

不妨令所以，

…………

累加可得

∴