Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A，B兩點各建一個考察基地．視冰川面為平面形，以過A，B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖）．在直線x=2的右側，考察范圍為到點B的距離不超過

6 5

5

km的區域；在直線x=2的左側，考察范圍為到A，B兩點的距離之和不超過4

5

km的區域．
（Ⅰ）求考察區域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）如圖所示，設線段P₁P₂，P₂P₃是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區域所需的最短時間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設邊界曲線上點P的坐標為（x，y），當x≥2時，(x-4)2+y2=

36

5

．當x＜2時，

x2

20

+

y2

4

=1．由此能得到考查區域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）設過點P₁，P₂的直線為l₁，過點P₂，P₃的直線為l₂，則直線l₁，l₂的方程分別為y=

3

x+14，y=6．
設直線l平行于直線l₁，其方程為y=

3

x+m，代入橢圓方程

x2

20

+

y2

4

=1，消去y，得16x2+10

3

mx+5(m2-4) =0，然后由根的判別式和點到直線的距離公式結合題設條件進行求解．

解答：解：（Ⅰ）設邊界曲線上點P的坐標為（x，y），
當x≥2時，由題意知(x-4)2+y2=

36

5

．
當x＜2時，由|PA|+|PB|=4

5

知，點P在以A，B為焦點，長軸長為2a=4

5

的橢圓上．此時短半軸長b=

(2 5 )2-42

=2．因而其方程為

x2

20

+

y2

4

=1．
故考察區域邊界曲線（如圖）的方程為C1：(x-4)2+y2=

36

5

(x≥2)和C2：

x2

20

+

y2

4

=1(x＜2)．


（Ⅱ）設過點P₁，P₂的直線為l₁，過點P₂，P₃的直線為l₂，則直線l₁，l₂的方程分別為y=

3

x+14，y=6．
設直線l平行于直線l₁，其方程為y=

3

x+m，代入橢圓方程

x2

20

+

y2

4

=1，消去y，得
16x2+10

3

mx+5(m2-4) =0，
由△100×3m²-4×16×5（m²-4）=0，
解得m=8或m=-8．
從圖中可以看出，當m=8時，直線l與C₂的公共點到直線l的距離最近，此時直線l的方程為y=

3

x+8，l與l₁之間的距離為d=

|14-8|

1+3

=3．
又直線l₂到C₁和C₂的最短距離d′=6-

6 5

5

，而d'＞3，所以考察區域邊界到冰川邊界線的最短距離為3．
設冰川邊界線移動到考察區域所需的時間為n年，則由題設及等比數列求和公式，
得

0.2(2n-1)

2-1

≥3，所以n≥4．
故冰川邊界線移動到考察區域所需的最短時間為4年．

點評：本題考查點的軌跡方程，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用和數形結合的合理運用．