Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的A，B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地，視冰川面為平面形，以過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（下圖）．考察范圍為到A，B兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)10km的區(qū)域．
(Ⅰ)求考察區(qū)域邊界曲線的方程；
(Ⅱ)如圖所示，設(shè)線段P₁P₂是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km，以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍，問(wèn)：經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)A恰好在冰川邊界線上？

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則由|PA|+|PB|=10知，點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=10的橢圓上，此時(shí)短半軸長(zhǎng)，
所以考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為。

 (Ⅱ)易知過(guò)點(diǎn)P₁，P₂的直線方程為4x-3y+47=0，
因此點(diǎn)A到直線P₁P₂的距離為，
設(shè)經(jīng)過(guò)n年，點(diǎn)A恰好在冰川邊界線上，
則利用等比數(shù)列求和公式可得，
解得n=5，即經(jīng)過(guò)5年，點(diǎn)A恰好在冰川邊界線上．