Question

【題目】已知離心率為的橢圓C：（a>b>0）的左焦點為，過作長軸的垂線交橢圓于、兩點，且.

（I）求橢圓C的標準方程；

（II）設O為原點，若點A在直線上，點B在橢圓C上，且，求線段AB長度的最小值.

Answer 1

【答案】（I） （II）.

【解析】

（Ⅰ）由題意可得關于a，b，c 的方程組，求解可得a，b的值，則橢圓C的標準方程可求；

（Ⅱ）設點A（t，2），B（x0，y0），①當t＝0時，直接求得|AB|；

②當t≠0時，，，則lOB：y，聯立直線方程與橢圓方程，求得A，B的坐標，可得|AB|2，再由基本不等式求解．

（Ⅰ）由題意，，解得．

∴橢圓C的標準方程為；

（Ⅱ）設點A（t，2），B（x0，y0），

①當t＝0時，A（0，2），B（2，0），此時|AB|；

②當t≠0時，．

∵OA⊥OB，∴，則lOB：y．

聯立，消去y可得．

∴，．

∴

．

當且僅當，即t＝0時取“＝”．

∵t≠0，∴|AB|．

綜上所述，|AB|．

綜上：線段AB長度的最小值為．