Question

【題目】廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：

單價x/元	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
銷量y/件	90	84	83	80	75	68

(1)求線性回歸方程=x+，其中=-20， =- .

(2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關系，且該產品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元?(利潤=銷售收入-成本)

Answer 1

【答案】(1) =-20x+250 ;(2) 8.25元

【解析】試題分析：首先計算兩個變量的平均值，本題已經提供b的預測值，根據回歸直線必過樣本中心點，代入回歸直線得出，寫出回歸直線方程，本題(2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關系，設該產品的單價應定為x元寫出銷售收入，即銷量與價格的積，寫出成本,即:銷量與4元的積，兩個量的差就是利潤，利用二次函數配方求出極值.

試題解析：

(1)由于= (x1+x2+x3+x4+x5+x6)

=8.5，

= (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80.

所以=- =80+20×8.5=250，

從而線性回歸方程為=-20x+250.

(2)設工廠獲得的利潤為L元，依題意得

L=x(-20x+250)-4(-20x+250)

=-20x2+330x-1 000=-20+361.25，

當且僅當x=8.25時，L取得最大值，

故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤.