Question

（本題滿分14分）如圖，已知平面平面，與分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形，//，四邊形為直角梯形，//，，點(diǎn)為的重心，為中點(diǎn)，，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：//平面
（Ⅱ）若直線與所成角為，試求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值.

（1）只須證：連接AG并延長(zhǎng)交CE于P點(diǎn)，連接PB，PD，易證NPDF為平行四邊形，然后根據(jù)平行線分分段成比例關(guān)系證DM//PF即可.
(2) 由于本小題建系比較容易，所以易采用空間向量法求二面角即可.先求出二面角兩個(gè)面的法向量，然后根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)進(jìn)行計(jì)算.
（Ⅰ）連延長(zhǎng)交于，

因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以
又，所以，所以//；
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223409817392.png" style="vertical-align:middle;" />//，//，所以平面//平面，
又與分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形，
為中點(diǎn)，為中點(diǎn), //,又//，
所以//，得四點(diǎn)共面
//平面
（Ⅱ）平面平面，易得平面平面，
以為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
，
，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223410504503.png" style="vertical-align:middle;" />與所成角為，所以，
得，，，
設(shè)平面的法向量，則，取，
面的法向量，
所以二面角的余弦值.