Question

（本小題滿分16分）
如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁，A₁A的中點(diǎn)．

（1）求的長(zhǎng)；
（2）求的值；
（3）求證：A₁B⊥C₁M（14分）．

Answer 1

（1）；
（2）見解析。

本題考查線段的長(zhǎng)和兩異面直線夾角余弦值的求法，解題時(shí)要恰當(dāng)?shù)亟�立空間直角坐標(biāo)系，合理地運(yùn)用 向量的夾角公式進(jìn)行求解．以及向量的數(shù)量積證明垂直。
（1）以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，B（0，a，0），N（a，0，a），由此能求出|BN |
（2）A₁（a，0，2a），C（0，0，0），B₁（0，a，2a），BA₁ =（a，-a，2a）， CB₁=（0，a，2a），再由cos＜ BA₁ ， CB₁＞，能求出BA₁，CB₁夾角的余弦值．
（3）同理利用垂直來證明數(shù)量積為零即可。
（1）；…..5分
（2）；…..6分
（3），……5分

．