Question

【題目】已知橢圓：（）的右頂點與拋物線：（）的焦點重合.的離心率為，過的右焦點F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）過點的直線l與橢圓交于A，B兩點，點B關于x軸的對稱點為點E，證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析

【解析】

（1）由題意可得，由于橢圓的離心率可得a，c的關系，進而可得p，c的關系，再由過的右焦點F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為可得c的值，再由a，b，c的關系求出橢圓的方程及拋物線的方程；

（2）設直線的方程，及A，B的坐標由題意可得E的坐標，將直線與橢圓聯立可得兩根之和及兩根之積，求出直線的直線方程，將兩根之和及之積代入可得恒過定點.

（1）由的離心率為，可得，所以，

因為橢圓的右頂點與拋物線的焦點重合，所以，，

所以可得，

過的右焦點F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為，k令代入拋物線的方程：可得，所以，

即，解得，所以，

由可得，

所以橢圓和拋物線的方程分別為：，；

（2）由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為：，設，，由題意可得，

直線與橢圓聯立：，

整理可得：，，

可得，，，

直線的方程為：，

整理可得：

所以當時，，即過定點，

所以可證直線過定點.