Question

【題目】已知雙曲線的一個焦點是，且

（1）求雙曲線的方程

（2）設經過焦點的直線的一個法向量為，當直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點時，求實數的取值范圍

（3）設（2）中直線與雙曲線的右支相交于兩點，問是否存在實數，使得為銳角？若存在，請求出的范圍；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，證明見解析

【解析】

（1）直接根據題意計算得到得到答案.

（2）計算漸近線方程為，根據直線方程與漸近線的關系得到答案.

（3）假設存在，為銳角，即，利用韋達定理得到

，解得，不成立.

（1）雙曲線的一個焦點是，且

則 解得 故雙曲線方程為

（2）漸近線方程為：

經過焦點的直線的一個法向量為，則直線方程為：

直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點

則滿足或，解得：或

（3）假設存在，則為銳角，即 ，設

得到

代入化簡得到： 即

這與或矛盾，假設不成立.

故不存在這樣的