Question

（本小題共14分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一點．

（Ⅰ）求證：BC⊥AM；

（Ⅱ）若M，N分別是CC1，AB的中點，求證：CN //平面AB1M；

（Ⅲ）若，求二面角A-MB1-C的大小．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

 

證明：（Ⅰ）因為三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，

所以CC1⊥BC．                     ……………………1分

    因為AC=BC=2，，

    所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．  ……………………2分

    因為AC∩CC1=C，

所以BC⊥平面ACC1A1．              ……………………3分

因為AM平面ACC1A1，

所以BC⊥AM．                      ……………………4分

（Ⅱ）連結A1B交AB1于P．              ……………………5分

因為三棱柱ABC-A1B1C1，

所以P是A1B的中點．

因為M，N分別是CC1，AB的中點，

所以NP // CM，且NP = CM，

所以四邊形MCNP是平行四邊形，      ……………………6分

所以CN//MP．                      ……………………7分

因為CN平面AB1M，MP平面AB1M，   ………………8分

所以CN //平面AB1M．               ……………………9分

（Ⅲ）因為BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，

以C為原點，CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系C-xyz．

    因為，所以C（0,0,0），A（2,0,0），B1（0,2,4），，，

    ．                                          ……………………10分

設平面的法向量，則，．

    即          ……………………11分

    令，則，即．

    又平面MB1C的一個法向量是，

所以．   ………………12分

由圖可知二面角A-MB1-C為銳角，

所以二面角A-MB1-C的大小為．                  ……………………14分

 

【解析】略