Question

【題目】已知函數f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）． （Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）設g（x）=x2﹣2x，若對任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數 ， ∴ （x＞0）．
∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，
∴f'（1）=f'（3），
即 ，
解得 ．
（Ⅱ） （x＞0）．
①當a≤0時，x＞0，ax﹣1＜0，
在區間（0，2）上，f'（x）＞0；
在區間（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的單調遞增區間是（0，2），
單調遞減區間是（2，+∞）．
②當 時， ，
在區間（0，2）和 上，f'（x）＞0；
在區間 上f'（x）＜0，
故f（x）的單調遞增區間是（0，2）和 ，單調遞減區間是
③當 時， ，故f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）．
④當 時， ，在區間 和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在區間 上f'（x）＜0，
故f（x）的單調遞增區間是 和（2，+∞），單調遞減區間是 ．
（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max ．
由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，
①當 時，f（x）在（0，2]上單調遞增，
故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，
所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，
故 ．
②當 時，f（x）在 上單調遞增，
在 上單調遞減，
故 ．
由 可知 ，
2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，
所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，
綜上所述，a＞ln2﹣1．
【解析】（Ⅰ）由函數 ，知 （x＞0）．由曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，能求出a的值．（Ⅱ） （x＞0）．根據a的取值范圍進行分類討論能求出f（x）的單調區間．（Ⅲ）對任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等價于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max ． 由此能求出a的取值范圍．