Question

（2012•洛陽模擬）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中，直線l經(jīng)過點P（-1，0），其傾斜角為α，以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，與直角坐標系xOy取相同的長度單位，建立極坐標系．設曲線C的極坐標方程為ρ²-6ρcosθ+5=0．
（1）若直線l與曲線C有公共點，求α的取值范圍；
（2）設M（x，y）為曲線C上任意一點，求x+y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)極坐標與直角坐標互化的公式，算出曲線C的直角坐標方程，再結合直線l的參數(shù)方程：

x=-1+tcosα y=tsinα

，聯(lián)解得到關于參數(shù)t的二次方程，運用根的判別式列式并解之，即可得到角α的取值范圍；
（2）由（1）可得曲線C的參數(shù)方程，從而得到x+y=3+2

2

sin（θ+

π

4

），最后結合正弦函數(shù)的值域，即可得到x+y的取值范圍．

解答：解：（1）將曲線ρ²-6ρcosθ+5=0化成直角坐標方程，得圓C：x²+y²-6x+5=0
直線l的參數(shù)方程為

x=-1+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)）
將其代入圓C方程，得（-1+tcosα）²+（tsinα）²-6tsinα+5=0
整理，得t²-8tcosα+12=0
∵直線l與圓C有公共點，
∴△≥0，即64cos²α-48≥0，可得cosα≤-

3

2

或cosα≥

3

2

∵α為直線的傾斜角，得α∈[0，π）
∴α的取值范圍為[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π）
（2）由圓C：x²+y²-6x+5=0化成參數(shù)方程，得

x=3+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）
∵M（x，y）為曲線C上任意一點，
∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2

2

sin（θ+

π

4

）
∵sin（θ+

π

4

）∈[-1，1]
∴2

2

sin（θ+

π

4

）∈[-2

2

，2

2

]，可得x+y的取值范圍是[3-2

2

，3+2

2

]．

點評：本題給出直線與圓的極坐標方程，要求我們將其化成直角坐標方程并研究直線與圓位置關系．著重考查了直角坐標與極坐標的互化、簡單曲線的極坐標方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．