Question

如圖，P、O分別是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心，AB=kAA₁．
（1）當(dāng)k=

2

時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的大小；
（2）當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

Answer 1

分析：以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=2

2

，
（1）求出對(duì)應(yīng)各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出平面PBC的法向量為

n

=(1，y，z)，，并求出平面PBC的法向量，再根據(jù)cos＜

PA

•

n

＞=

PA • n

| PA |•| n |

=

6

3

，即可得到直線PA與平面PBC所成角的大小；
（2）先由（Ⅰ）知△PBC的重心G為(-

2

3

，

2

3

，

2 2

3k

)，再根據(jù)

OG • BC =0 OG • PB =0

，解得k的值即可．

解答：解：以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=2

2

，則得A1(2，0，

2 2

k

)、P(0，0，

2 2

k

)、B（0，2，0）、C（-2，0，0）
_
（1）當(dāng)k=

2

時(shí)，由P（0，0，2）、A（2，0，0）得

PA

=(2，0，-2)、

BC

=(-2，-2，0)、

PB

=(0，2，-2)
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=(1，y，z)，則由

n • BC =0 n • PB =0

，得

1+y=0 y-z=0

，

y=-1 z=-1

∴

n

=(1，-1，-1)
cos＜

PA

•

n

＞=

PA • n

| PA |•| n |

=

6

3

，
∴直線PA與平面PBC所成角的大小為arcsin

6

3

．
（2）由（Ⅰ）知△PBC的重心G為(-

2

3

，

2

3

，

2 2

3k

)，則

OG

=(-

2

3

，

2

3

，

2 2

3k

)，
若O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心，則有

OG • BC =0 OG • PB =0

，解得k=

2

∴當(dāng)k=

2

時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查空間向量求直線與平面的夾角，法向量的求法，直線與平面所成的角，考查計(jì)算能力．