Question

如圖，已知P、O分別是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心，E是AB的中點，AB=kAA₁，其中k為非零實數，
（1）求證：A₁E∥平面PBC；
（2）當時，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）當k取何值時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心？

Answer 1

【答案】分析：依題意，設此棱柱的高AA₁=2，則AB=2k，以O為原點建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標和相關向量的坐標：（1）取BC中點F，得，利用線面平行的判定定理證明即可；（2）求平面PBC的法向量，利用向量夾角公式計算與法向量夾角的余弦值，其絕對值即為線面角的正弦值；（3）利用重心坐標公式計算三角形PBC重心的坐標，可知若O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心，當且僅當=0，列方程即可解得k值
解答：解：設此棱柱的高AA₁=2，則AB=2k，如圖建立空間直角坐標系：
則P（0，0，2），O（0，0，0），B（k，k，0），C（-k，k，0），A₁（k，-k，2），A（k，-k，0），
E（k，0，0）
∴=（-2k，0，0），=（k，k，-2），=（0，k，-2），=（k，-k，-2）
（1）取BC中點F（0，k，0）
則=（0，k，-2）
∴
∴A₁E∥PF，PF?面PBC，A₁E?面PBC
∴A₁E∥平面PBC
（2）當時，∴=（-2，0，0），=（，，-2），
=（，-，-2）
設平面PBC的法向量為=（x，y，z）
則
∴取=（0，，1）
∴cos＜，＞===-=-
設直線PA與平面PBC所成角為θ，則sinθ=
∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為
（3）設△PBC的重心坐標為M（x，y，z），則
x==0，y==，z==
∴M（0，，）
∴=（0，，）
且=0，即OM⊥BC
若OM⊥平面PBC，
則=×k+=0
解得k=±
∴k=±時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心
點評：本題綜合考查了線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，利用空間向量和空間直角坐標系求空間直線與平面所成的角的方法