Question

【題目】如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）．
①當0＜CQ＜ 時，S為四邊形
②當CQ= 時，S為等腰梯形
③當CQ= 時，S與C1D1的交點R滿足C1R=
④當 ＜CQ＜1時，S為六邊形
⑤當CQ=1時，S的面積為 ．

Answer 1

【答案】①②③⑤
【解析】解：如圖

當CQ= 時，即Q為CC1中點，此時可得PQ∥AD1 ， AP=QD1= = ，
故可得截面APQD1為等腰梯形，故②正確；
由上圖當點Q向C移動時，滿足0＜CQ＜ ，只需在DD1上取點M滿足AM∥PQ，
即可得截面為四邊形APQM，故①正確；
③當CQ= 時，如圖，

延長DD1至N，使D1N= ，連接AN交A1D1于S，連接NQ交C1D1于R，連接SR，
可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1 ， 可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R= ，故正確；
④由③可知當 ＜CQ＜1時，只需點Q上移即可，此時的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，顯然為五邊形，故錯誤；
⑤當CQ=1時，Q與C1重合，取A1D1的中點F，連接AF，可證PC1∥AF，且PC1=AF，
可知截面為APC1F為菱形，故其面積為 AC1PF= = ，故正確．
所以答案是：①②③⑤．
【考點精析】掌握命題的真假判斷與應用是解答本題的根本，需要知道兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．