Question

【題目】設橢圓E： 的焦點在x軸上
（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
（2）設F1 ， F2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當a變化時，點P在某定直線上．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓E的焦距為1，∴ ，解得 ．

故橢圓E的方程為

（2）解：設P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中 ．

由題設可知：x0≠c．則直線F1P的斜率 = ，直線F2P的斜率 = ．

故直線F2P的方程為 ．

令x=0，解得 ．即點Q ．

因此直線F1Q的斜率 = ．

∵F1Q⊥F1P，∴ = ．

化為 ．

聯立 ，及x0＞0，y0＞0，

解得 ， ．

即點P在定直線x+y=1上

【解析】（1）利用橢圓的標準方程和幾何性質即可得出 ，解出即可；（2）設P（x0 ， y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中 ．利用斜率的計算公式和點斜式即可得出直線F1P的斜率 = ，直線F2P的方程為 ．即可得出Q ．得到直線F1Q的斜率 = ．利用F1Q⊥F1P，可得 = ．化為 ．與橢圓的方程聯立即可解出點P的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．