Question

【題目】定義在上的奇函數有最小正周期4，且時，

（1）判斷并證明在上的單調性，并求在上的解析式；

（2）當為何值時，關于的方程在上有實數解？

Answer 1

【答案】（1）單調遞減，；（2）

【解析】

（1）在區間上單調遞減，通過取值、作差、化簡、下結論等步驟得函數單調性，由奇函數，易得，通過在上取變量，轉化到上，根據得在區間上解析式，再由最小正周期為4，得到和的值，綜合即可得到結論；（2）根據條件把問題轉化為求函數在上的值域問題即可．

（1）在上為減函數，

證明如下：設，則，，，

∴

∴，∴在上為減函數．

當時，，，

又為奇函數，∴，

當時，由

∵有最小正周期4，∴

綜上

（2）周期為4的周期函數，關于方程在上有實數解的的范圍即為求函數在上的值域，

當時由（1）知，在上為減函數，∴，

當時，，

當時，，∴的值域為

∴時方程方程在上有實數解