Question

已知直線L：kx－y＋1＋2k＝0.
(1)求證：直線L過定點；
(2)若直線L交x軸負半軸于點A，交y正半軸于點B，△AOB的面積為S，試求S的最小值并求出此時直線L的方程．

Answer 1

(1)定點(－2，1); (2) x－2y＋4＝0.

試題分析：(1)由直線系方程: 恒過兩直線: 與的交點可知:只需將直線L的方程改寫成: 知直線L恒過直線與的交點(-2,1),從而問題得證;(2)先用k將點A和點B的坐標表示出來，由直線L交x軸負半軸于點A，交y正半軸于點B知：k>0;然后再用含k的代數式將△AOB的面積為S表達出來，得到S是k的函數，再利用基本不等式就可求得使S取得最小值對應的k的值，從而就可寫出直線L的方程.
試題解析：(1)證明：由已知得: k(x＋2)＋(1－y)＝0，        3分
令   x＋2="0" ， 1－y=0
得: x=-2 ， y=1
∴無論k取何值，直線過定點(－2，1)     5分
(2)解：令y＝0得：A點坐標為
令x＝0得：B點坐標為(0，2k＋1)(k>0)，      7分
∴S_△AOB＝ |2k＋1|＝ (2k＋1)
＝≥ (4＋4)＝4      .10分
當且僅當4k＝，即k＝時取等號．
即△AOB的面積的最小值為4，此時直線l的方程為x－y＋1＋1＝0，
即 x－2y＋4＝0.                           12分