Question

【題目】已知函數是的一個極值點.

（1）若是的唯一極值點，求實數的取值范圍；

（2）討論的單調性；

（3）若存在正數，使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時， 在遞減，在上遞增，當時， 在,上遞增，在上遞減,當時， 在, 上遞增，在遞減， 時， 在上遞增；（3）或.

【解析】試題分析：（1）對函數求導，由是極值點得，由此可得，即，由函數有唯一極值點可得恒成立或恒成立，由恒成立得，后者不可能，故可得的取值范圍；（2）對導函數的零點進行討論，分為， ， 和四種情形可得導數與0的關系進而得其單調性；（3）依據（2）中結果，當時，當時， 均滿足題意；當時，根據單調性或成立即可，當時， 滿足題意.

試題解析：（1）， 是極值點

，故， ，

是唯一的極值點， 恒成立或恒成立

由恒成立得，又 ，由恒成立得，而不存在最小值， 不可能恒成立.

（2）由（1）知，當時， ， ； ， .

在遞減，在上遞增；當時， ， ， ； ， ； ， ， 在、上遞增，在上遞減，當時， 在、 上遞增，在遞減。

時， 在上遞增.

（3）當時， ，滿足題意；當時， ，滿足題意；當時，由（2）知需或，

當時， ，而，故存在使得，這樣時的值域為從而可知滿足題意

當時，得或者解得；

當時， 可得滿足題意， 的取值范圍或.