Question

已知二次函數f(x)=ax2+bx+1和g(x)=

bx-1

a2x+2b

（1）f（x）為偶函數，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個不相等的實根，當a＞0時判斷f（x）在（-1，1）上的單調性；
（3）若方程g（x）=x的兩實根為x₁，x₂f（x）=0的兩根為x₃，x₄，求使x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立的a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）為偶函數可得b=0，得到g（x）=

-1

a2x

，定義域為{x|x≠0}，再結合奇函數的定義可得答案．
（2）由方程g（x）=x有兩個不相等的實根，可得△=b²-4a²＞0，即

b

2a

＞1或

b

2a

＜-1，再結合二次函數的性質即可判斷好的f（x）的單調性．
（3）由題意可得：

a2x2+bx+1=0 ax2+bx+1=0

，設α為x₁與x₂中的一個數，則有

a2α2+bα+1=0 (α-x3)(α-x4)＜0

，即

a2α2+bα+1=0 α2+ b a α+ 1 a ＜0

，再分a＞0與a＜0兩種情況討論，進而結合等式與不等式得到關于a的不等式，進而求出a的范圍得到答案．

解答：解：（1）因為f（x）為偶函數，
所以f（-x）=f（x），即b=0，
所以g(x)=

bx-1

a2x+2b

=

-1

a2x

，定義域為{x|x≠0}，
所以g（-x）=-g（x），
所以函數g（x）是奇函數．
（2）由方程g（x）=x整理可得a²x²+bx+1=0，
因為方程g（x）=x有兩個不相等的實根，
所以△=b²-4a²＞0，即|

b

2a

|＞1，即

b

2a

＞1或

b

2a

＜-1，
又因為函數f（x）=ax²+bx+1的對稱軸為x=-

b

2a

，并且a＞0，
所以當-

b

2a

＜ -1時，f（x）在（-1，1）上是增函數；當-

b

2a

＞1時，f（x）在（-1，1）上是減函數．
（3）由

g(x)=x f(x)=0

可得

a2x2+bx+1=0 ax2+bx+1=0

，
設α為x₁與x₂中的一個數，
則有

a2α2+bα+1=0 (α-x3)(α-x4)＜0

，
因為x₃+x₄=-

b

a

，x₃x₄=

1

a

所以有

a2α2+bα+1=0 α2+ b a α+ 1 a ＜0

．
當a＞0時有

a2α2+bα+1=0 aα2+bα+1＜0

，
所以結合兩式可得（a-a²）α²＜0，
解得：a＞1或a＜0（舍去）．
當a＜0時有

a2α2+bα+1=0 aα2+bα+1＞0

，
所以所以結合兩式可得（a-a²）α²＞0，
解得：0＜a＜1（舍去）．
綜上可得a的取值范圍為（1，+∞）．

點評：本題主要考查函數的奇偶性與函數的單調性，以及一元二次方程的根的分布與系數的關系，此題綜合性比較強，考查了數學上一個重要的思想方法即分類討論的思想方法，此題屬于難題．