Question

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=

bx-1

a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)b=2a時(shí)，問(wèn)是否存在x的值，使?jié)M足-1≤a≤1且a≠0的任意實(shí)數(shù)a，不等式f（x）＜4恒成立？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義可知f（-x）=f（x），可求出b的值，求出g（x）的定義域看是否對(duì)稱，然后根據(jù)奇偶性定義進(jìn)行判定；
（2）g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根可轉(zhuǎn)化成△＞0，可判定對(duì)稱軸的范圍，從而確定函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）不等式f（x）＜4恒成立可轉(zhuǎn)化成ax²+2ax-3＜0對(duì)于-1≤a≤1且a≠0時(shí)恒成立，建立不等式組，解之即可求出所求．

解答：解：（1）若f（x）為偶函數(shù)，有f（-x）=f（x）⇒b=0，則g（x）=

-1

a2x

，定義域?yàn)閧x|x≠0}，且g（-x）=-g（x），所以g（x）為奇函數(shù)．
（2）由g（x）=x，整理得：a²x²+bx+1=0，且△=b²-4a²＞0?|

b

2a

|＞1，即

b

2a

＞1或

b

2a

＜-1，又f（x）得對(duì)稱軸為x=-

b

2a

所以當(dāng)-

b

2a

＜-1時(shí)，f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；當(dāng)-

b

2a

＞1時(shí)，f（x）在（-1，1）上為減函數(shù)．
（3）由f（x）＜4，即ax²+2ax+1＜4，有ax²+2ax-3＜0
由已知它對(duì)于-1≤a≤1且a≠0時(shí)上面不等式恒成立，則有

x2+2x-3＜0 -x2-2x-3＜0

解得：-3＜x＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．