Question

【題目】如圖，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，點D是BC的中點．

（1）求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以{ }為單位正交基底建立空間直角坐標系A﹣xyz，

則由題意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），

A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），

∴ ， =（1，﹣1，﹣4），

∴cos＜ ＞= = = ，

∴異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為

（2）解： 是平面ABA1的一個法向量，

設平面ADC1的法向量為 ，

∵ ，

∴ ，取z=1，得y=﹣2，x=2，

∴平面ADC1的法向量為 ，

設平面ADC1與ABA1所成二面角為θ，

∴cosθ=|cos＜ ＞|=| |= ，

∴sinθ= = ．

∴平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值為 ．

【解析】（1）以{ }為單位正交基底建立空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能求出異面直線A1B與C1D所成角的余弦值．（2）分別求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1與ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函數知識能求出平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值．