Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點．

（Ⅰ）求證AM//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小；
（Ⅲ）試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60°．

Answer 1

（1）對于線面平行的證明，主要是分析借助于中位線來得到AM∥OE
（2）60º（3）P是AC的中點

試題分析：解法一: (1)記AC與BD的交點為O,連接OE, ∵O、M分別是AC、EF的中點， ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，
∴AM∥OE．∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDE．……4分
(2)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結BS，∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂線定理得BS⊥DF．∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角．
在RtΔASB中，
∴∴二面角A—DF—B的大小為60º．……8分
（3）設CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF．在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ．
∵ΔPAQ為等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF為直角三
角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去),即點P是AC的中點．……12分
解法二： （1）建立空間直角坐標系．
設，連接NE， 則點N、E的坐標分別是（、（0,0,1）,
∴, 又點A、M的坐標分別是,（
∴ =（∴且NE與AM不共線，∴NE∥AM．又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDE．
（2）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF．
∴為平面DAF的法向量．
∵=（·=0，
∴=（·=0得
，，∴NE為平面BDF的法向量．
∴cos<=∴AB與NE的夾角是60º．即所求二面角A—DF—B的大小是60º．
（3）設P(t,t,0)(0≤t≤)得∴=（0，， 0）
又∵PF和BC所成的角是60º．∴
解得或（舍去），即點P是AC的中點．
點評：解決的關鍵是根據線面平行的判定定理，以及空間的法向量來求解二面角的平面角的大小，屬于中檔題。