Question

【題目】已知函數，其中常數.

（1）令，將函數的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數，求函數的解析式；

（2）若在上單調遞增，求的取值范圍；

（3）在（1）的條件下的函數的圖像，區間且滿足：在上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的中，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據正弦函數平移“左加右減、上加下減”的法則即可求得；

（2）利用范圍可求得的范圍，根據單調性可得不等式組，解不等式組求得；由可求得，兩個范圍取交集得到最終結果；

（3）令可求得零點，進而得到相鄰零點之間的距離；若最小，知均為零點，此時在恰有個零點，從而得到在至少有一個零點；根據相鄰零點之間距離即可得到滿足的條件，進而求得所求的最小值.

（1）

，即

（2） 當時，

，，解得：，

又

即的取值范圍為

（3）令得：

或，

解得：或，

相鄰兩個零點之間的距離為或

若最小，則均為的零點，此時在區間，，…，分別恰有個零點

在區間恰有個零點 至少有一個零點

，即

檢驗可知，在恰有個零點，滿足題意

的最小值為