Question

【題目】已知定義域為的函數是奇函數．

（1）求的解析式；

（2）試判斷的單調性，并用定義法證明；

（3）若存在，使得不等式成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在上單調遞增,證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據題意，得到，求出，即可得出結果；

（2）根據題意得到，任取，且，作差法比較，，根據函數單調性的概念，即可得出結果；

（3）先由函數奇偶性與單調性得到存在，使得成立，推出存在，使得成立；令，求出其最小值，即可得出結果.

（1）由題意可得，解得，

故；

（2），可得在上單調遞增，

任取，且，，

∵∴即，

又，，∴即，

故在上單調遞增．

（3），

因為是奇函數，所以，

由（2）可知在上單調遞增，

所以存在，使得成立，

即存在，使得成立；

令，，

易得其在上單調遞增；

所以；

故，

所以k的取值范圍為．