Question

【題目】已知函數(shù)（，）， （）.

（1）如果是關(guān)于的不等式的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）判斷在和的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

（3）證明：函數(shù)存在零點(diǎn)q，使得成立的充要條件是．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）代入解得；（2）用定義證得在遞減，在上遞增；（3）充分性：當(dāng)時(shí)，有，得，成立；必要性：由成立，可得，得，，有，成立。

試題解析：

(1) 由，得

（2）設(shè) ，

當(dāng) 時(shí)， ， ，，， ，

有，， .

當(dāng) 時(shí)， ， ，，， ，有，， .

當(dāng)時(shí)， ， ，，， .

在遞減，在和上遞增，從而在上遞增.

(3) 充分性：當(dāng)時(shí)，有，又，函數(shù)在內(nèi)的圖像連續(xù)不斷，故在內(nèi)一定存在零點(diǎn)且 ，有，得，從而.

必要性：當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，由成立，可得從而得，，由（2）中的結(jié)論可知在遞減，在遞增，從而，或 .

從而，時(shí)，有.