Question

已知A，B，C分別為△ABC的三邊a，b，c所對的角，向量

m

=(sinA，sinB)，

n

=(cosB，cosA)，且

m

•

n

=sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差數列，且

CA

•

CB

=18，求邊c的長．

Answer 1

（1）∵

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），
∴

m

•

n

=sin2C，即sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin2C=2sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cosC=

1

2

，
∵C為三角形內角，
∴C=

π

3

；
（2）∵sinA，sinC，sinB成等差數列，
∴2sinC=sinA+sinB，
利用正弦定理化簡得：2c=a+b，
∵

CA

•

CB

=18，
∴abcosC=

1

2

ab=18，即ab=36，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
將a+b=2c，ab=36代入得：c²=4c²-108，即c²=36，
解得：c=6．