Question

【題目】在△ABC中，角A、B、C所對應的邊為a，b，c
（1）若 ，求A的值；
（2）若 ，且△ABC的面積 ，求sinC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵cos（ ﹣A）=2cosA，即 cosA+ sinA=2cosA，

∴ sinA=3cosA，即tanA= ，

∵0＜A＜π，∴A=

（2）解：∵cosA= ，且A為三角形內角，

∴sinA= = ，

∵S= c2= bcsinA= bc，

∴b=3c，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，

∴a=2 c，

由正弦定理得 = ，即 = ，得到sinC= = = ；

法2：∵cosA= ，且A為三角形內角，

∴sinA= = ，

∵S= c2= bcsinA= bc，

∴b=3c，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，

∴a=2 c，

∵a2+c2=8c2+c2=9c2=b2，

∴△ABC是Rt△，角B為直角，

∴sinC= = ．

【解析】（1）已知等式利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后求出tanA的值，即可確定出A的度數；（2）法1：由cosA的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積與sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出關系式，將b=3c及cosA的值代入得到a=2 c，最后利用正弦定理即可求出sinC的值；法2：由cosA的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積與sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出關系式，將b=3c及cosA的值代入得到a=2 c，最后利用余弦定理及銳角三角函數定義即可求出sinC的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．