Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn,a4=2且,數列滿足 ,

(1)證明：數列{an}為等差數列；

(2)是否存在正整數，(1<)，使得成等比數列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2) 存在符合.

【解析】分析：（1）2Sn＋1=( n＋1)an＋1－(n＋1)，2Sn= nan－n，兩式做查得到an＋2＋an=2an＋1，所以數列{an}是等差數列；（2），成等比數列，即，代入表達式可得，分析得到結果.

詳解：

(1) 由已知得2Sn= nan－n① ,

故當n=1時，2S1=a1－1，即a1＝－1，

又2Sn＋1=( n＋1)an＋1－(n＋1)②，

②－①得2Sn＋1－2Sn=(n＋1)an＋1－nan－1，

即(n－1)an＋1－nan－1=0 ③，

又nan＋2－(n＋1)an＋1－1=0④

④－③得，nan＋2－2nan＋1＋nan=0，

即an＋2＋an=2an＋1，所以數列{an}是等差數列.

(2)因為a1＝－1，a4=2，所以公差為1

an＝－1＋(n－1)×1=n－2，所以

假設正整數，(1<)，使得成等比數列，即，

可得，

又

當時,關于遞減,(同理當時,關于遞減)

當時,符合,此時,易得,不滿足

當時, 符合,此時,此時

當時, ,不符合

綜上: 存在符合.